高中数学奥数题

高中数学奥数题

设所有P(A)之和为Sn，有：Sn = a1+...+an+a1a2+...+a1an+a2a3+...+a2an+...+a[n-1]an+...+a1a2...an另：S[n+1] = a1+...an+a[n+1]+a1a2+...+a1an+a1a[n+1]+a2a3+...+a2an+a2a[n+1]+...+a1a2...an+a2a3...a[n+1]+a1a2...a[n+1]可得：S[n+1]-Sn=a[n+1]+a1a[n+1]+...+ana[n+1]+...+a1a2...a[n+1]=a[n+1](1+Sn)故：a[n+1]=(S[n+1]-Sn)/(1+Sn)………………………………(1)由于S的所有子集个数为2^n，故不同的非空子集A的个数为2^n-1,故Sn=13(2^n-1),S[n+1]=49(2^(n+1)-1)代入(1)式可得：a[n+1]=(49(2^(n+1)-1)-13(2^n-1))/(1+13(2^n-1))由于a[n+1]为整数且n>1，可得n=3,a[n+1]即a4=7再由(1)式，令n=2：a3=(S3-S2)/(1+S2)=(91-S2)/(1+S2)由于a3也是整数，先看正整数是否有解，试验可得a3=1,S2=45，a3=3,S2=22，a3=45,S2=1，a3=22,S2=3四组解又：1+S2=1+a1+a2+a1a2=(1+a1)(1+a2)若S2=45，a1=22，a2=1若S2=22，a1=22，a2=0(显然不可取)若S2=1，a1=1，a2=0(显然不可取)若S2=3，a1=1，a2=1故得出最后结果：a1=22,a2=1,a3=1(三者可任意互换),a4=7 补充：说不定会有负整数的解，可以试试