什么是逆矩阵,有什么意义?

什么是逆矩阵,有什么意义?

设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。逆矩阵，或可逆是线性代数中最重要的内容。

1、下列命题等价：

1）A为n阶可逆矩阵

2）A是非奇异的。

3）A是满秩的。

4）A是行满秩的。

5）A是列满秩的。

6）方程组AX=0仅有零解

7）方程组AX=B仅有唯一解。

8）A的行向量组线性无关。

9）A的列向量组线性无关。

10）A的任何特征值均非零。

2、可逆的重要性体现在：

AB=C 表示B线性变换到 C， B与C是等价矩阵。同秩，同可逆或不可逆。是以B的列向量与C的列向量为基构成的向量空间为相同的空间。

扩展资料

逆矩阵性质定理

可逆矩阵一定是方阵。

如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。