求正态分布的数学期望和方差的推导过程

求正态分布的数学期望和方差的推导过程

不用二重积分的，可以有简单的办法的。 设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)] 其实就是均值是u，方差是t^2，百度不太好打公式，你将就看一下。 于是： ∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t。。。。。。（*） 积分区域是从负无穷到正无穷，下面出现的积分也都是这个区域，所以略去不写了。 （1）求均值 对（*）式两边对u求导： ∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0 约去常数，再两边同乘以1/(√2π)t得： ∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0 把(u-x)拆开，再移项： ∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx 也就是 ∫x*f(x)dx=u*1=u 这样就正好凑出了均值的定义式，证明了均值就是u。 (2)方差 过程和求均值是差不多的，我就稍微略写一点了。 对(*)式两边对t求导： ∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π 移项： ∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2 也就是 ∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2 正好凑出了方差的定义式，从而结论得证。