边界条件
的有关信息介绍如下:地下水流问题中碰到的边界条件有下列几种类型:
1.第一类边界条件(Dirichlet条件)
如果在某一部分边界(设为S1或Г1)上,各点在每一时刻的水头都是已知的,则这部分边界就称为第一类边界或给定水头的边界,表示为:
地下水动力学(第二版)
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或
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式中,H(x,y,z,t)和H(x,y,t)分别表示在三维和二维条件下边界段S1和Г1上点(x,y,z)和(x,y)在t时刻的水头。ψ1(x,y,z,t)和ψ2(x,y,t)分别是S1和Г1上的已知函数。
可以作为第一类边界条件来处理的情况不少,例如当河流或湖泊切割含水层,两者有直接水力联系时,这部分边界就可以作为第一类边界处理。此时,水头ψ1和ψ2是一个由河湖水位的统计资料得到的关于t的函数。但要注意,某些河、湖底部及两侧沉积有一些粉砂、亚粘土和粘土,使地下水和地表水的直接水力联系受阻,就不能作为第一类边界条件来处理。区域内部的抽水井或疏干巷道也可以作为给定水头的内边界来处理。此时,水头通常是按某种要求事先给定。
注意,给定水头边界不一定是定水头边界。上面介绍的都只是给定水头的边界。所谓定水头边界,意味着函数ψ1和ψ2不随时间而变化。当区域内部的水头比它低时,它就供给水,要多少有多少。当区域内部的水头比它高时,它吸收水,需要它吸收多少就吸收多少。在自然界,这种情况很少见。就是附近有河流、湖泊,也不一定能处理为定水头边界,还要视河流、湖泊与地下水水力联系的情况,以及这些地表水体本身的径流特征而定。在没有充分依据的情况下,千万不要随意把某段边界确定为定水头边界,以免造成很大误差。
2.第二类边界条件(Neumann条件)
当知道某一部分边界(设为S2或Г2)单位面积(二维空间为单位宽度)上流入(流出时用负值)的流量q时,称为第二类边界或给定流量的边界。相应的边界条件表示为:
地下水动力学(第二版)
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或
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式中,n为边界S2或Γ2的外法线方向。q1和q2则为已知函数,分别表示S2上单位面积和Г2上单位宽度的侧向补给量。
最常见的这类边界就是隔水边界,此时侧向补给量q=0。在介质各向同性的条件下,上面两个表达式都可简化为:
地下水动力学(第二版)
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边界条件(1—107)还可用在下列场合:(1)地下分水岭;(2)流线。
抽水井或注水井也可以作为内边界来处理。取井壁Гw为边界,根据Darcy定律有:
地下水动力学(第二版)
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式中,r为径向距离;Q为抽水井流量(Q<0,为注水井流量)。
由于此时外法线方向n指向井心,故上式可改写为下列形式:
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式中,rw为井的半径。
3.第三类边界条件
若某段边界S3或Г3上H和
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式中,α,β为已知函数,这种类型的边界条件称为第三类边界条件或混合边界条件。
当研究区的边界上如果分布有相对较薄的一层弱透水层(带),边界的另一侧是地表水体或另一个含水层分布区时,则可以看作是这类边界。如图1—34所示,淤泥层两侧的同一位置上的A点和p点有水头差,如以H表示边界内侧研究区的水头,Hn为边界外侧的水头,当忽略弱透水层内贮存的变化时,有:
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式中,K为研究区的渗透系数;K1和m1分别为弱透水层的渗透系数和宽度;q为和(1—105)式中q1相当的侧向流入量(流出为负值)。上式还可进一步改写为:
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式中,
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这就是第三类边界条件。
图1—34 第三类边界条件
图1—34 第三类边界条件
(据J.Bear)
边界的性质和边界距抽水井的距离对计算结果有很大影响,具体选用时必须慎重。在实际工作中,必须用相当多的勘探工作量查明边界的性质,以便正确地确定边界条件。
下面以不考虑入渗补给的地下水向井中的稳定运动(图1—35)作为例子,来具体说明它的边界条件。在图1—35所示的渗流区中,水头H在各边界上必须适合的条件为:
图1—35 地下水向均质各向同性介质中水井的稳定运动
图1—35 地下水向均质各向同性介质中水井的稳定运动
在上游边界C1上,水头均假设等于H0,所以有边界条件:
地下水动力学(第二版)
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浸润曲线C2上,压强等于大气压强,测压管高度等于零,C2上任何一点的水头H*应等于该点的纵坐标z:
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同时,浸润曲线又是一条流线,所以有边界条件:
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渗出面C3上,压强也等于大气压强,故有:
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井壁C4上,边界条件为:
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隔水边界C5上,边界条件为:
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对于非稳定渗流问题,情况相似只是边界条件中有关值都是时间的函数而已。
要注意,对于有浸润曲线的渗流问题(如排水沟降低地下水位问题、土坝渗流问题等),由于这时浸润曲线本身在不断地变化着,此边界条件就要另行描述了,即除了要满足(1—113)式外,还要满足反映浸润面移动规律的条件。描述的方式有多种,本书介绍一种数值计算中常用的方法。这种方法把浸润曲线作为有流量补给的边界来处理。图1—36上表示出t时刻和t+dt时刻的两条浸润曲线。在其间取一宽为dr、y方向长为1个单位长度的小土体。如以q表示从浸润曲线边界流入渗流区的单位面积流量,则在dt时间内通过小土体这部分边界的补给量为qdrdt。若取流入为正,则相应的边界条件为:
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当浸润曲线下降时,从浸润曲线边界流入渗流区的单位面积流量q为:
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式中,μ为给水度,θ为浸润曲线外法线与铅垂线间的夹角。